Question

若斜率为

2

2

的直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据题意可知：两交点的横坐标为-c，c，纵坐标分别为-

b2

a

，

b2

a

，所以由斜率公式可得：

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

转化为：2b²=ac=2（a²-c²），两边同除以a²，转化为了2e²+

2

e-2=0求解．

解答：解：由题意知：两交点的横坐标为-c，c，纵坐标分别为-

b2

a

，

b2

a

，
∴由

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

转化为：2b²=2（a²-c²）=

2

ac
即2e²+

2

e-2=0，
解得e=

2

2

（负根舍去）．
故答案为：

2

2

点评：本题主要考查椭圆的几何性质及直线的斜率公式和离心率公式，同时，还考查了转化思想．