题目内容

设各项均为正数的数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需证明）；
（Ⅱ）记b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2 $数学公式$ 对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式．

解：（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．
由题设知x₁=1且 $\text{[math]}$ ；①
$\text{[math]}$ ．②
因②式对n=2成立，有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．③
下用反证法证明： $\text{[math]}$ ．
由①得 $\text{[math]}$ ．
因此数列|x_n+1+2x_n|是首项为x₂+2，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
故 $\text{[math]}$ ．④
又由①知 $\text{[math]}$ ，
因此是 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为-2的等比数列，
所以 $\text{[math]}$ ．⑤
由④-⑤得 $\text{[math]}$ ．⑥
对n求和得 $\text{[math]}$ ．⑦
由题设知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ．
即不等式2^2k+1＜ $\text{[math]}$
对k∈N^*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x₂≤ $\text{[math]}$ ，结合③式知x₂= $\text{[math]}$ ，因此a₂=2^*2= $\text{[math]}$ ．
将x₂= $\text{[math]}$ 代入⑦式得
S_n=2- $\text{[math]}$ （n∈N*），
所以b_n=2^S_n=2^2- $\text{[math]}$ （n∈N*）
分析：（Ⅰ）由题意可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 由此可猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．由题设知x₁=1且 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．由此入手能够求出a₂的值及数列{b_n}的通项公式．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．