题目内容

【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形,E,F分别是A1C1 , B1C1上的点,且满足A1E=EC1 , B1F=3FC1
(1)求证:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.

【答案】
(1)证明:取B1C1的中点G,连结A1G,

∵B1F=3FC1,FG=FC1,∴EF∥A1G,

在等边△A1B1C1中,由G是B1C1的中点,知A1G⊥B1C1

∴EF⊥B1C1

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面A1B1C1

又∵EF平面A1B1C1,∴BB1⊥EF,

∵BB1∩B1C1=B1,∴EF⊥平面BB1C1C,

又EF平面AEF,∴平面AEF⊥平面BB1C1C


(2)解:(2)以A为坐标原点,以AA1,AC分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱均为2,则A(0,0,0),B( ),E(0,1,2),

=(0,1,2), =( ),

=(x,y,z)是平面ABE的一个法向量,

,取x=﹣2,得 =(﹣2,2 ,﹣ ),

平面AEC1的一个法向量 =(1,0,0),

设二面角C1﹣AE﹣B的平面角为θ,

则cosθ= =

∴二面角C1﹣AE﹣B的余弦值为


【解析】(1)取B1C1的中点G,连结A1G,推导出EF∥A1G,A1G⊥B1C1 , 从而EF⊥B1C1 , 由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱,得到BB1⊥EF,从而EF⊥平面BB1C1C,由此能证明平面AEF⊥平面BB1C1C.(2)以A为坐标原点,以AA1 , AC分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.

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