Question

已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y=4m和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧？为什么？

Answer 1

分析：（1）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；
（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形

解答：解：
（1）直线l的方程可化为y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，此时斜率k=

m

m2+1

，
即km²-m+k=0，∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．

（2）不能．由（1知l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

；
圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2；圆心C到直线l的距离d=

2

1+k2

由|k|≤

1

2

，得d≥

4

5

＞1，即d＞

r

2

，
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

，
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧．

点评：本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用．
高考考点：直线与圆及不等式知识的综合应用
易错点：对有关公式掌握不到位而出错．
全品备考提示：本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟练掌握．