题目内容

设 $数学公式$ 、 $数学公式$ 是两个不共线的非零向量（t∈R）
（1）记 $数学公式$ ，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
（2）若 $数学公式$ ，那么实数x为何值时 $数学公式$ 的值最小？

解：（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不共线的非零向量
∴ $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
故存在 $\text{[math]}$ 时，A、B、C三点共线
（2）∵ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 两向量的夹角是120°
∴ $\text{[math]}$ ²= $\text{[math]}$ =1+x+x²=（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∴当x=- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值最小为 $\text{[math]}$
分析：（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得 $\text{[math]}$ ，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；
（2）由题设条件，可以 $\text{[math]}$ 表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值．
点评：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想