Question

（满分12分）正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，且AC 与BD 交于点O，E 为棱DD₁ 中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.
(Ⅰ)求证：B₁O⊥平面EAC；
(Ⅱ)若点 F 在 EA 上且 B₁F⊥AE，试求点 F 的坐标；
(Ⅲ)求二面角B₁－EA－C 的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)见解析
(Ⅱ) F (0, , )
(Ⅲ)二面角B₁－EA－C的正弦值为  

证明：(I) 由题设知下列各点的坐标A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (2, 2, 0),
D (0, 2, 0), E (0, 2, 1), B₁(2, 0, 2)．                       
∵O是正方形ABCD的中心，∴O (1, 1, 0)．
∴= (－1, 1, －2)，=" (2," 2, 0)，=" (0," 2, 1)．2分
∴·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)
= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．
·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)
= －1·0 + 1·2－2·1 = 0．                                                                                                        
∴⊥，⊥，                                
即B₁O ⊥AC，B₁O⊥AE，      
∴B₁O⊥平面ACE．      4分
(II)               由F点在AE上，可设点F的坐标为F (0, 2l, l)，      5分
则= (－2, 2l, l－2)．              6分
∵⊥，
∴·= (－2, 2l, l－2)·(0, 2, 1) = 5l－2 = 0，   7分
∴    l = ,
∴F (0, , )．  8分
(III)  ∵B₁O⊥平面EAC，B₁F⊥AE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE．
∴∠OFB₁即为二面角B₁－EA－C的平面角．  9分
∴ || = = ．  10分
又= (－2, ,－)，
∴ | | = = ．  11分
在Rt△B₁OF中，sin∠B₁FO = = ．
故二面角B₁－EA－C的正弦值为． 12分