Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积

16

3

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为

16

3

，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为

16

3

，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点A(-

p

2

，0)的直线交抛物线C：y²=2px（p＞0）于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F．
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

Answer 1

分析：（1）抛物线上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大1，即有到准线的距离比到y轴的距离大1，所以的

p

2

=1；
（2）由（1）得到的抛物线方程，可设出M，N两点坐标即设N(

t2

2p

，-t)，则利用|MF|=2|NF|可得到M的坐标，然后利用M、F、N共线，可得t的值．进而求出直线斜率，利用直线方程的点斜式求出直线方程．
（3）在前面解答正确的前提下可得到所要求的“逆向”问题，这个“逆向”问题有多个答案，本题的逆向问题是把直线RQ过焦点F作为条件，于是可由把过点A(-

p

2

，0)作为结论得到，也可以由点P关于x轴的对称点为R，RQ垂直x轴作为结论得到．

解答：解：（1）由已知及抛物线的定义可得：

p

2

=1，即p=2，所以抛物线C的方程为：y²=4x（4分）
（2）设N(

t2

4

，-t)（t＞0），则M（t²，2t），F（1，0）．
因为M、F、N共线，则有k_FM=k_NF，（6分）
所以

-t

1 4 t2-1

=

2t

t2-1

，解得t=

2

，（8分）
所以k=

2 2

2-1

=2

2

，（10分）
因而，直线MN的方程是y=2

2

(x-1)．（11分）
（3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，
设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-

p

2

，0)．（13分）
证明：设过F的直线为y=k（x-

p

2

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则R（x₁，-y₁）
由

y2=4x y=k(x- p 2 )

得k2x2-(pk2+4)x+

1

4

p2k2=0，
所以x1x2=

p2

4

，（14分）
kRA=

-y1

x1+ p 2

=-

k(x1- p 2 )

x1+ p 2

，（15分）
kQA=

k(x2- p 2 )

x2+ p 2

=

k(x1x2- p 2 x1)

x1x2+ p 2 x1

=-

k(x1- p 2 )

x1+ p 2

=k_RA，（16分）
所以直线RQ必过焦点A．（17分）
②过点A(-

p

2

，0)的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴．
③已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过点B（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A（-m，0）．
“逆向问题”二：已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
过F₂的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(

a2

c

，0)．
“逆向问题”三：已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
过F₂的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(

a2

c

，0)．

点评：本题考查圆锥曲线--抛物线的概念，几何性质以及应用；求曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系及应用．命题的提出与证明，圆锥曲线与向量等知识交汇点的考查应用，同时注意对数形结合思想，定义法，设而不求思想等具体思想方法的考查．