Question

【题目】已知函数f（x）=
（1）求证f（x）在（0，+∞）上递增
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围
（3）当f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）= ﹣ ，x∈（0，+∞），

∴f'（x）= ＞0，

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，

则 ，即 ，

故函数y= 与y=x+ （x＞0）的图象有两个公共点，

∵当x＞0时，y=x+ ≥2（当且仅当x= ，即x=1时取“=”），

∴ ≥2，解得0＜a≤

（3）∵f（x）= ﹣ ，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立上，

∴a≥ = 在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）= ，

则g（x）≤ = （当且仅当2x= ，即x= 时取等号），

要使（0，+∞）上恒成立，

故a的取值范围是[ ，+∞）

【解析】（1）利用f'（x）= ＞0即可证明f（x）在（0，+∞）上递增；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，则则 ，构造函数y= 与y=x+ （x＞0），利用两函数的图象有两个公共点，即求实数a的取值范围；（3）当f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立a≥ = 在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）= ，利用基本不等式可求得g（x）max ， 从而可求实数a的取值范围．
【考点精析】利用函数的值域对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．