Question

设双曲线C：

x2

2

-y2=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线l与双曲线C交于不同的两点P、Q．若直线l与x轴正半轴的交点为M，且

A1P

•

A2Q

=1，则点M的坐标为（　　）

• A、（

  3

  2

  ，0）
• B、（2，0）
• C、（

  3

  ，0）
• D、（3，0）

Answer 1

分析：先求出点A₁、A₂的坐标，设出点P、Q以及M的坐标；利用向量的坐标运算求出关于点M坐标的等式，再结合P（a，b）在双曲线上，联立即可求出点M的坐标．

解答：解：由题得：A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），
设M（a，0），P（a，b），Q（a，-b）．则a＞0．
所以

A1P

=（a+

2

，b），

A2Q

=（a-

2

，-b）．
∵

A1P

•

A2Q

=1，
∴（a+

2

）（a-

2

）-b²=1，即a²-b²=3  ①
又因为P（a，b）在双曲线上，故有

a2

2

-b2=1    ②
联立①②得：a²=4，故a=2．
故选B．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题以及向量的坐标运算．解决本题的关键在于对向量的坐标运算的熟练掌握．