题目内容
设双曲线C:
-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T.
(1)求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程;
(2)设A,B是曲线E上的两个动点,线段AB的中垂线与曲线E交于P,Q两点,直线l:x=
,线段AB的中点M在直线l上,若F(1,0),求
•
的取值范围.
x2 |
2 |
(1)求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程;
(2)设A,B是曲线E上的两个动点,线段AB的中垂线与曲线E交于P,Q两点,直线l:x=
1 |
2 |
FP |
FQ |
分析:(1)利用三点共线建立方程,利用S(x0,y0)在双曲线上,即可求得轨迹方程;
(2)利用点差法表示出斜率,可得直线PQ的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合向量的数量积公式,即可求
•
的取值范围.
(2)利用点差法表示出斜率,可得直线PQ的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合向量的数量积公式,即可求
FP |
FQ |
解答:解:(1)设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为(x,y),S(x0,y0),T(x0,-y0)
由A1、H、S三点共线,得:(x0+
)y=y0(x+
)…③
由A2、H、T三点共线,得:(x0-
)y=-y0(x-
)…④
联立③、④,解得 x0=
,y0=
.
∵S(x0,y0)在双曲线上,
∴
-(
)2=1.
∴轨迹E的方程为:
+y 2=1(x≠0,y≠0).
(2)由(1)知直线AB不垂直于x轴,设直线AB的斜率为k,
M(
,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由
得(x1+x2)+2(y1+y2)•
=0,
则1+4mk=0,得:k=-
.
此时,直线PQ斜率为k1=4m,PQ的直线方程为:y-m=4m(x-
).
代入椭圆方程消去y,整理得 (32m2+1)x2-16m2x+2m2-2=0.
又设P(x3,y3),Q(x4,y4),
则:x3+x4=
,x3x4=
.
∴
•
=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3-m)(4mx4-m)
=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)
-(4m2+1)
+m2+1
=
令t=1+32m2,
∵点M(
,m)在椭圆内,∴
+m2<1,
又∵m≠0,
∴0<m2<
,∴1<t<29,
则
•
=-
-
∈(-1,-
).
∴,
•
的取值范围为(-1,-
)
由A1、H、S三点共线,得:(x0+
2 |
2 |
由A2、H、T三点共线,得:(x0-
2 |
2 |
联立③、④,解得 x0=
2 |
x |
| ||
x |
∵S(x0,y0)在双曲线上,
∴
(
| ||
2 |
| ||
x |
∴轨迹E的方程为:
x2 |
2 |
(2)由(1)知直线AB不垂直于x轴,设直线AB的斜率为k,
M(
1 |
2 |
由
|
y1-y2 |
x1-x2 |
则1+4mk=0,得:k=-
1 |
4m |
此时,直线PQ斜率为k1=4m,PQ的直线方程为:y-m=4m(x-
1 |
2 |
代入椭圆方程消去y,整理得 (32m2+1)x2-16m2x+2m2-2=0.
又设P(x3,y3),Q(x4,y4),
则:x3+x4=
16m2 |
32m2+1 |
2m2-2 |
32m2+1 |
∴
FP |
FQ |
=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)
2m2-2 |
32m2+1 |
16m2 |
32m2+1 |
=
-13m2-1 |
32m2+1 |
令t=1+32m2,
∵点M(
1 |
2 |
(
| ||
2 |
又∵m≠0,
∴0<m2<
7 |
8 |
则
FP |
FQ |
13 |
32 |
19 |
32t |
99 |
232 |
∴,
FP |
FQ |
99 |
232 |
点评:本题考查轨迹方程,考查向量知识的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线l与双曲线C交于不同的两点P、Q.若直线l与x轴正半轴的交点为M,且
•
=1,则点M的坐标为( )
x2 |
2 |
A1P |
A2Q |
A、(
| ||
B、(2,0) | ||
C、(
| ||
D、(3,0) |