题目内容

设双曲线C:
x2
2
-y2=1
的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T.
(1)求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程;
(2)设A,B是曲线E上的两个动点,线段AB的中垂线与曲线E交于P,Q两点,直线l:x=
1
2
,线段AB的中点M在直线l上,若F(1,0),求
FP
FQ
的取值范围.
分析:(1)利用三点共线建立方程,利用S(x0,y0)在双曲线上,即可求得轨迹方程;
(2)利用点差法表示出斜率,可得直线PQ的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合向量的数量积公式,即可求
FP
FQ
的取值范围.
解答:解:(1)设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为(x,y),S(x0,y0),T(x0,-y0
由A1、H、S三点共线,得:(x0+
2
)y=y0(x+
2
)
…③
由A2、H、T三点共线,得:(x0-
2
)y=-y0(x-
2
)
…④
联立③、④,解得 x0=
2
x
y0=
2
y
x

∵S(x0,y0)在双曲线上,
(
2
x
)
2
2
-(
2
y
x
)2=1

∴轨迹E的方程为:
x2
2
+y 2=1(x≠0,y≠0)

(2)由(1)知直线AB不垂直于x轴,设直线AB的斜率为k,
M(
1
2
,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由 
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
得(x1+x2)+2(y1+y2
y1-y2
x1-x2
=0,
则1+4mk=0,得:k=-
1
4m

此时,直线PQ斜率为k1=4m,PQ的直线方程为:y-m=4m(x-
1
2
)

代入椭圆方程消去y,整理得 (32m2+1)x2-16m2x+2m2-2=0.
又设P(x3,y3),Q(x4,y4),
则:x3+x4=
16m2
32m2+1
x3x4=
2m2-2
32m2+1

FP
FQ
=(x3-1)(x4-1)+y3y4
=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3-m)(4mx4-m)
=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)
2m2-2
32m2+1
-(4m2+1)
16m2
32m2+1
+m2+1

=
-13m2-1
32m2+1

令t=1+32m2
∵点M(
1
2
,m)
在椭圆内,∴
(
1
2
)
2
2
+m2<1

又∵m≠0,
0<m2
7
8
,∴1<t<29,
FP
FQ
=-
13
32
-
19
32t
∈(-1,-
99
232
)

∴,
FP
FQ
的取值范围为(-1,-
99
232
)
点评:本题考查轨迹方程,考查向量知识的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网