Question

6．已知P是△ABC所在平面内一点，4$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据4$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，计算△PBC的面积，代入几何概型概率公式，可得答案．

解答 解：令$\overrightarrow{PD}$=4$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PE}$=5$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{PA}$，
则∵4$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PE}$+$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{0}$，
即P为△DEF的重心，

此时△PDE，△PEF，△PDF的面积相等，
则△PDE的面积是△PBC的20倍，
△PEF的面积是△PAC的15倍，
△PDF的面积是△PAB的12倍，
故△ABC的面积是△PBC的4倍，
故将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．