Question

【题目】已知椭圆：的两个焦点分别是，直线：与椭圆交于两点.

（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；

（2）若，且，求证：的面积为定值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据为等腰直角三角形可知；分别讨论焦点在轴和轴上的两种情况，构造方程求得；

（2）根据可知，将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，代入可整理得到的关系；利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出的面积，化简整理可得定值.

（1）为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，

为等腰直角三角形，，

当时，，解得：；

当时，，解得：；

或.

（2）证明：当时，椭圆方程为：，

设，，，即，

由整理得：，

，即，

，，

，，满足，

.

到直线的距离为，

，

的面积为定值.