题目内容
【题目】已知,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.
(1)若,点在椭圆上,、分别为椭圆的两个焦点,求的范围;
(2)若过点,射线与椭圆交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时直线斜率;若不能,说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求得焦点坐标,设,运用向量数量积的坐标表示,结合椭圆的范围,可得所求范围;
(2)设,的坐标分别为,,,,运用中点坐标公式和点差法,直线的斜率公式,结合平行四边形的性质,即可得到所求斜率.
解:(1)时,椭圆,两个焦点,,,,
设,可得,即,
,,,,
,
因为,
所以的范围是;
(2)设,的坐标分别为,,,,可得,,
则,两式相减可得,
,即,
故,又设,,直线,
即直线的方程为,
从而,代入椭圆方程可得,,
由与,联立得,
若四边形为平行四边形,那么也是的中点,
所以,即,整理可得,
解得,经检验满足题意,
所以当时,四边形为平行四边形.
【题目】法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000,上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000,标准差为50的正态分布.
(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1000的个数为,求的分布列和数学期望;
(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:)
981 | 972 | 966 | 992 | 1010 | 1008 | 954 | 952 | 969 | 978 |
989 | 1001 | 1006 | 957 | 952 | 969 | 981 | 984 | 952 | 959 |
987 | 1006 | 1000 | 977 | 966 |
尽管上述数据都落在上,但庞加菜还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由
附:
①若,从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量
②若,则,,;
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.
【题目】年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过个国家或地区宣布进人紧急状态,部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”,随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,下表为年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表:
企业成立年份 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 |
企业成立年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
倒闭企业数量(万家) | 5.23 | 4.70 | 3.72 | 3.12 | 2.42 |
倒闭企业所占比例 | 21.8% | 19.6% | 15.5% | 13.0% | 10.1% |
根据上表,给出两种回归模型:
模型①:建立曲线型回归模型,求得回归方程为;
模型②:建立线性回归模型.
(1)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程;
(2)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测年成立的企业中倒闭企业所占比例(结果保留整数).
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
参考公式:,;.
参考数据:,,,,,.