题目内容
【题目】已知椭圆
，抛物线
的准线与椭圆交于
两点，过线段
上的动点
作斜率为正的直线
与抛物线相切，且交椭圆于
两点.
（Ⅰ）求线段的长及直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）若
，求
面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）椭圆方程和抛物线方程联立，求出
两点的坐标，直接求出线段
的长利用导数求出抛物线的切线的斜率，求出切线方程，利用动点
的横坐标的取值范围可以求出直线
斜率的取值范围；
（Ⅱ）切线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合弦长公式，可求
两点距离，以及点
到直线
的距离
，利用面积公式，求出面积的表达式，利用换元法、求出求
面积的最大值.
（Ⅰ）由题意得：
，
，所以，
设直线与抛物线切于
，∵
，∴
，则切线方程为
，当
时，
，.
（Ⅱ）切线与椭圆联立
，
∴
，
，
得
，
，
令
，
.
当且仅当
.
解法二：同上联立
，
当且仅当
.
练习册系列答案
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等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
箱数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
（1）若将频率改为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率：
（2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为27元/kg;
方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
售价（元/kg） | 36 | 30 | 24 | 18 |
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
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