Question

（2013•成都二模）在△ABC中，三内角为A，B，C，且

2

sinAsin(B+

π

4

)=sin(A+B)
（I）求角A的大小；
（II）求sinBsinC的取值范围．

Answer 1

分析：（I）首先根据两角和与差公式化简

2

sinAsin(B+

π

4

)=sin(A+B)，得出sinA=cosA，然后由三角形的内角和以及特殊角的三角函数值，得出A的大小；
（II）由三角形的内角和得出sinBsinC=sinBsin（

3π

4

-B），然后根据两角和与差公式化简得出sinBsinC=

1

2

sin（2B-

π

4

）+

2

4

，再由角B的范围可知-

π

4

＜2B-

π

4

＜

5π

4

，即可得出答案．

解答：解：（I）据题意，得sinA（sinB+cosB）=sin（A+B）
∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB
即sinAsinB=cosAsinB
∵sinB≠0
∴sinA=cosA
解得：A=

π

4

（II）sinBsinC=sinBsin（

3π

4

-B）=

2

2

sinBcosB+

2

2

sin²B=

2

4

sin2B-

2

4

cos2B+

2

4

=

1

2

sin（2B-

π

4

）+

2

4

∵0＜B＜

3π

4

∴-

π

4

＜2B-

π

4

＜

5π

4

∴sinBsinC的取值范围是（0，

2+ 2

4

]

点评：此题考查了两角和与差公式以及三角形内角和，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．