Question

【题目】设集合M={x|﹣a＜x＜a+1，a∈R}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≤0}．
（1）当a=1时，求M∪N及N∩RM；
（2）若x∈M是x∈N的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：N={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，

当a=1时，M={x|﹣a＜x＜a+1，a∈R}={x|﹣1＜x＜2}，

∴M∪N={x|﹣1≤x≤3}∪{x|﹣1＜x＜2}={x﹣1≤x≤3}，

N∩RM={x|x=﹣1或2≤x≤3}

（2）解：∵N={x|﹣1≤x≤3}，M={x|﹣a＜x＜a+1，a∈R}，

若x∈M是x∈N的充分条件，

则MN，

若M=，即﹣a≥a+1，即a≤﹣ 时，满足条件．

若M≠，要使MN，

则 ，即 ，

∴﹣ ＜a≤1，

综上：a≤1

【解析】（1）当a=1时，利用集合的基本运算求M∪N及N∩RM；（2）利用x∈M是x∈N的充分条件，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解交、并、补集的混合运算(求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法)．