Question

15．已知方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）有两个不同的根x₁，x₂，且x₁，x₂，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p×q 的值等于20．

Answer 1

分析 方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）有两个不同的根x₁，x₂，△＞0，x₁+x₂=p＞0，x₁x₂=q＞0．可得x₁，x₂＞0．不妨设x₁＜x₂．由x₁，x₂，-2这三个数可适当排序后成等差数列，有6种排序，只能为x₁，x₂，-2；或-2，x₂，x₁；或-2，x₁，x₂；或x₂，x₁，-2．成等差数列，2x₂=x₁-2或2x₁=x₂-2．取2x₁=x₂-2．由x₁，x₂，-2这三个数可适当排序后成等比数列，同理可得：x₁x₂=（-2）²=q．联立$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}={x}_{2}-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=4}\end{array}\right.$，x₁，x₂＞0．解出即可得出．

解答 解：∵方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）有两个不同的根x₁，x₂，
∴△=p²-4q＞0，x₁+x₂=p＞0，x₁x₂=q＞0．
∴x₁，x₂＞0．
不妨设x₁＜x₂．
由x₁，x₂，-2这三个数可适当排序后成等差数列，
有6种排序：x₁，x₂，-2；-2，x₂，x₁；x₂，-2，x₁；x₁，-2，x₂；-2，x₁，x₂；x₂，x₁，-2．
∴只能为x₁，x₂，-2；或-2，x₂，x₁；或-2，x₁，x₂；或x₂，x₁，-2成等差数列，
∴2x₂=x₁-2或2x₁=x₂-2．
取2x₁=x₂-2．
由x₁，x₂，-2这三个数可适当排序后成等比数列，
有6种排序：x₁，x₂，-2；-2，x₂，x₁；x₂，-2，x₁；x₁，-2，x₂；-2，x₁，x₂；x₂，x₁，-2．
∴只能为x₁，-2，x₂；x₂，-2，x₁；成等比数列．
∴x₁x₂=（-2）²=q，解得q=4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}={x}_{2}-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=4}\end{array}\right.$，x₁，x₂＞0．
解得x₁=1，x₂=4，
∴p=5．
∴pq=20．
故答案为：20．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数、等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．