Question

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a（如图1）。将△ADC沿AC折起，使D到D′。记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为γ，
（Ⅰ）若二面角α-AC-β为直二面角（如图2），求二面角β-BC-γ的大小；
（Ⅱ）若二面角α-AC-β为60°（如图3），求三棱锥D′-ABC的体积。

Answer 1

解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，
∴，
过C作CH⊥AB，由AB=2a，可推得AC=BC=，
∴AC⊥BC，
取AC的中点E，连结D′E，
则D′E⊥AC，
又∵二面角α-AC-β为直二面角，
∴D′E⊥β，
又∵，
∴BC⊥D′E，
∴BC⊥α，而，
∴BC⊥D′C，
∴为二面角β-BC-γ的平面角。
由于，
∴二面角β-BC-γ为45°。
（Ⅱ）取AC的中点E，连结D′E，再过D′作，垂足为O，连结OE，
∵AC⊥D′E，
∴AC⊥OE，
∴为二面角α-AC-β的平面角，
∴=60°，
在中，，
∴
。