Question

已知O是坐标原点，A（2，1），P（x，y）满足

x-4y+3≤0 3x+5y≤25 x-1≥0

，则

OP

在

OA

方向上的投影的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将投影|

OP

|•cos∠AOP转化成

2x+y

5

，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点M时，从而得到|

OP

|•cos∠AOP的最大值即可．

解答：解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP |•| OA |cos∠AOP

| OA |

=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（2，1），

OP

=（x，y），
所以|

OP

|•cos∠AOP=

2x+y

5

，
令z=2x+y，则y=-2x+z，即z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，
由图形可知，当直线经过可行域中的点M时，z取到最大值，
由

x-4y+3=0 3x+5y=25

得M（5，2），这时z=12，
所以|

OP

|•cos∠AOP=

12

5

=

12 5

5

，
故|

OP

|•cos∠AOP的最大值等于

12 5

5

．
故答案为：

12 5

5

．

点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．