题目内容

(2013•盐城一模)对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x0∈D,均有f(x0)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭.
(1)试判断f(x)=x-1在区间[-2.1]上是否封闭,并说明理由;
(1)若函数g(x)=
3x+ax+1
在区间[3,10]上封闭,求实数a的取值范围;
(1)若函数h(x)=x3-3x在区间[a,b[(a,b∈Z)上封闭,求a,b的值.
分析:(1)由函数f(x)=x-1在区间[-2,1]上是增函数求出在[-2,1]上的值域,不满足在区间上封闭的概念;
(2)把给出的函数g(x)=
3x+a
x+1
变形为3+
a-3
x+1
,分a=3,a>3,a<3三种情况进行讨论,利用函数在区间[3,10]上封闭列式求出a的取值范围;
(3)求出函数h(x)=x3-3x的导函数,得到三个不同的单调区间,然后对a,b的取值分类进行求解.
解答:解:(1)f(x)=x-1在区间[-2,1]上单调递增,所以f(x)的值域为[-3,0]
而[-3,0]?[-2,1],所以f(x)在区间[-2,1]上不是封闭的;
(2)因为g(x)=
3x+a
x+1
=3+
a-3
x+1

①当a=3时,函数g(x)的值域为{3}⊆[3,10],适合题意.
②当a>3时,函数g(x)=3+
a-3
x+1
在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为[
30+a
11
9+a
4
]

[
30+a
11
9+a
4
]
⊆[3,10],得
30+a
11
≥3
9+a
4
≤10
,解得3≤a≤31,故3<a≤31.
③当a<3时,在区间[3,10]上有g(x)=
3x+a
x+1
=3+
a-3
x+1
<3
,显然不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是3≤a≤31;
(3)因为h(x)=x3-3x,所以h(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x∈(-∞,-1)时,h(x)>0,当x∈(-1,1)时,h(x)0.
所以h(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上递减,在(1,+∞)上递增.
①当a<b≤-1时,h(x)在区间[a,b]上递增,所以
h(a)≥a
h(b)≤b

a3-3a≥a
b3-3b≤b
,解得-2≤a≤0或a≥2,b≤-2或0≤b≤2,又a<b≤-1,此时无解.
②当a≤-1且-1<b≤1时,因h(x)max=h(-1)=2>b,矛盾,不合题意
③当a≤-1且b>1时,因为h(-1)=2,h(1)=-2都在函数的值域内,故a≤-2,b≥2,
a≤h(a)
b≥h(b)
,得
a≤a3-3a
b≥b3-3b
,解得-2≤a≤0或a≥2,b≤-2或0≤b≤2,从而a=-2,b=2.
④当-1≤a<b≤1时,h(x)在区间[a,b]上递减,
h(b)≥a
h(a)≤b
,即
b3-3b≥a
a3-3a≤b
(*)
而a,b∈Z,经检验,满足-1≤a<b≤1的整数组a,b均不合(*)式.
⑤当-1<a<1且b≥1时,因h(x)min=h(1)=-2<a,矛盾,不合题意.
⑥当b>a≥1时,h(x)在区间[a,b]上递增,所以
h(a)≥a
h(b)≤b

a3-3a≥a
b3-3b≤b
,解得-2≤a≤0或a≥2,b≤-2或0≤b≤2,又b>a≥1,此时无解.
综上所述,所求整数a,b的值为a=-2,b=2.
点评:本题是新定义题,考查了利用导数求闭区间上的最值,考查了分类讨论得数学思想方法,解答此题的关键是正确分类,因该题需要较细致的分类,对学生来说是有一定难度的题目.
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