题目内容

某种家用电器的销售利润与该电器的无故障使用时间有关．每台这种家用电器，若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元；若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元．己知每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年的概率为

，无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为

．记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和．
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）设“函数f(x)=x2-

100

ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

分析：（Ⅰ）根据题意，分析可得ξ的可能取值为0，100，200，300，400；由相互独立事件的概率，计算可得ξ取不同值的概率，即可得其分布列，进而有期望的求法，计算可得答案；
（Ⅱ）依据题意，由二次函数的性质，可得函数f(x)=x2-

100

ξx-1的对称轴x=

200

ξ≤2，可得∴

f(2)＜0

f(3)＞0

，解可得ξ的范围，结合（Ⅰ）的分布列，可得ξ的值，同时可得答案．

解答：解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）=

，
P（ξ=100）=2×

，
P（ξ=200）=2×

，
P（ξ=300）=2×

，
P（ξ=400）=

；
随机变量ξ的分布列为

100

200

300

400

所求的数学期望为Eξ=0×

+100×

+200×

+300×

+400×

=240（元）
所以随机变量ξ的数学期望为240元．
（Ⅱ）∵函数f(x)=x2-

100

ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点，且对称轴x=

200

ξ≤2
∴

f(2)＜0

f(3)＞0

得150＜ξ＜

800

，
于是ξ=200，
∴P(A)=P(ξ=200)=

因此事件A发生的概

．

点评：本题考查随机变量的分布列与期望的计算，要求学生不但能够计算，还要会进一步的应用；解题时注意（Ⅱ）要依据（Ⅰ）的结论．

练习册系列答案

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x₂-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃．
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；
（3）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值．

某种家用电器的销售利润与该电器的无故障使用时间有关．每台这种家用电器，若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元；若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元．己知每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年的概率为 $数学公式$ ，无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为 $数学公式$ ．记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和．
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）设“函数 $数学公式$ 在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

，无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为

．记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和．
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）设“函数

在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

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