题目内容

某种家用电器的销售利润与该电器的无故障使用时间有关．每台这种家用电器，若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元；若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元．己知每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年的概率为 $数学公式$ ，无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为 $数学公式$ ．记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和．
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）设“函数 $数学公式$ 在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=100）=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=200）=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=300）=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=400）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
随机变量ξ的分布列为

ξ	0	100	200	300	400
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

所求的数学期望为Eξ=0× $\text{[math]}$ +100× $\text{[math]}$ +200× $\text{[math]}$ +300× $\text{[math]}$ +400× $\text{[math]}$ =240（元）
所以随机变量ξ的数学期望为240元．
（Ⅱ）∵函数 $\text{[math]}$ 在区间（2，3）上有且只有一个零点，且对称轴 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
于是ξ=200，
∴ $\text{[math]}$ 因此事件A发生的概 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据题意，分析可得ξ的可能取值为0，100，200，300，400；由相互独立事件的概率，计算可得ξ取不同值的概率，即可得其分布列，进而有期望的求法，计算可得答案；
（Ⅱ）依据题意，由二次函数的性质，可得函数 $\text{[math]}$ 的对称轴 $\text{[math]}$ ，可得∴ $\text{[math]}$ ，解可得ξ的范围，结合（Ⅰ）的分布列，可得ξ的值，同时可得答案．
点评：本题考查随机变量的分布列与期望的计算，要求学生不但能够计算，还要会进一步的应用；解题时注意（Ⅱ）要依据（Ⅰ）的结论．