Question

某种家电器每台的销售利润与该电器无故障使用时间T（单位：年）有关，若T≤1，则销售利润为0元，若1＜T≤3，则销售利润为100元，若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电台无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃，
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列和期望

Answer 1

分析：（1）根据题目中所给的三种情况发生的概率P₁，P₂，P₃之间的关系，写出关于三个概率的关系式，即三个概率之和是1，又两个概率是一元二次方程的解，根据根和系数之间的关系，写出结果．
（2）ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，则ξ的可能取值为0，100，200，300，400，结合变量对应的事件写出变量的分布列，做出数学期望．

解答：解：（1）由已知P₁+P₂+P₃=1，
∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1
∵P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，
∴P1+P2=

3

5

，∴P1=

1

5

，P2=P3=

2

5

（2）ξ的可能取值为0，100，200，300，400
P(ξ=0)=

1

5

×

1

5

=

1

25

P(ξ=100)=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

P(ξ=200)=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

P(ξ=300)=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

P(ξ=400)=

2

5

×

2

5

=

4

25

∴随机变量ξ的分布列为：

Eξ=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240元

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查概率的性质，考查一元二次方程根和系数之间的关系，是一个综合题目．