题目内容
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且P2=P3．（1）求P1，P2，P3的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；
（3）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值．
分析：（1）由已知得p1+p2+p3=1，p2=p3，p1+2p2=1，再由p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，能求出p1=
，p2=p3=
．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，p（ξ=0）=
×
=
，p（ξ=100）=2×
×
=
，p（ξ=200）=2×
×
+
×
=
，p（ξ=300）=2×
×
=
，p（ξ=400）=
×
=
．由此能求出随机变量ξ的分布列．
（3）由ξ的分布列能求出销售利润总和的平均值Eξ．
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，p（ξ=0）=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 25 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 25 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
（3）由ξ的分布列能求出销售利润总和的平均值Eξ．
解答：解：（1）由已知得p1+p2+p3=1，
∵p2=p3，∴p1+2p2=1，
∵p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，
∴p1+p2=
，
∴p1=
，p2=p3=
．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，
p（ξ=0）=
×
=
，
p（ξ=100）=2×
×
=
，
p（ξ=200）=2×
×
+
×
=
，
p（ξ=300）=2×
×
=
，
p（ξ=400）=
×
=
．
∴随机变量ξ的分布列为
（3）销售利润总和的平均值为Eξ=0×
+100×
+200×
+300×
+400×
=240．
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元．
∵p2=p3，∴p1+2p2=1，
∵p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，
∴p1+p2=
| 3 |
| 5 |
∴p1=
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，
p（ξ=0）=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 25 |
p（ξ=100）=2×
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
p（ξ=200）=2×
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 25 |
p（ξ=300）=2×
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 25 |
p（ξ=400）=
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
∴随机变量ξ的分布列为
| ξ | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
| 1 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 8 |
| 25 |
| 8 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元．
点评：本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地利用离散型随机变量的分布列和期望进行解题．
练习册系列答案
相关题目
的两个根，且p2=p3．
表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求
(单位：年)有关. 若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元．设每台该种电器的无故障使用时间
，
，
，叉知
的两个根，且
（1）求
表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求