题目内容

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且P2=P3．
（1）求P1，P2，P3的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；
（3）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值．
分析：（1）由已知得p1+p2+p3=1，p2=p3，p1+2p2=1，再由p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，能求出p1=
1
5
，p2=p3=
2
5
．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，p（ξ=0）=
1
5
×
1
5
=
1
25
，p（ξ=100）=2×
1
5
×
2
5
=
4
25
，p（ξ=200）=2×
1
5
×
2
5
+
2
5
×
2
5
=
8
25
，p（ξ=300）=2×
2
5
×
2
5
=
8
25
，p（ξ=400）=
2
5
×
2
5
=
4
25
．由此能求出随机变量ξ的分布列．
（3）由ξ的分布列能求出销售利润总和的平均值Eξ．
解答：解：（1）由已知得p1+p2+p3=1，
∵p2=p3，∴p1+2p2=1，
∵p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，
∴p1+p2=
3
5
，
∴p1=
1
5
，p2=p3=
2
5
．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，
p（ξ=0）=
1
5
×
1
5
=
1
25
，
p（ξ=100）=2×
1
5
×
2
5
=
4
25
，
p（ξ=200）=2×
1
5
×
2
5
+
2
5
×
2
5
=
8
25
，
p（ξ=300）=2×
2
5
×
2
5
=
8
25
，
p（ξ=400）=
2
5
×
2
5
=
4
25
．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 100 200 300 400
P
1
25
4
25
8
25
8
25
4
25
（3）销售利润总和的平均值为Eξ=0×
1
25
+100×
4
25
+200×
8
25
+300×
8
25
+400×
4
25
=240．
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元．
点评：本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地利用离散型随机变量的分布列和期望进行解题．
练习册系列答案
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某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间有关，每台这种家用电器若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元，若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元．
已知每台该种电器的无故障使用时间不超过一年的概率为
1
5
，无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为
2
5
．
（I）求销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率；
（II）求销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率．
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3．
（Ⅰ）求p1，p2，p3的值；
（Ⅱ）记λ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求λ的分布列；
（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．

（本题满分12分）

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位:年)有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程的两个根，且p2=p3．

（1）求p1，p2，p3的值；

  （2）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的期望．

(本小题满分13分)

   某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 (单位：年)有关. 若，则销售利润为元；若，则销售利润为元；若，则销售利润为元．设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为，，，叉知，是方程的两个根，且   （1）求，，的值；  （2）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的期望.

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