题目内容
已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N*，k、b均为非零常数），其中数列{xn}为等差数列．（1）求证：数列{yn}是等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且
| OP |
| OA1 |
| OA2 |
（3）设a1+a2+…+an=1，且当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得
| OP |
| OA1 |
| OA2 |
| OAn |
分析：（1）将yn+1和yn分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{yn}为等差数列；
（2）由题中条件可知PA1A2共线，令
=λ
，即可证明a1+a2=1；
（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+an=1和ai=aj及数列{xn}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．
（2）由题中条件可知PA1A2共线，令
| A1P |
| PA2 |
（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+an=1和ai=aj及数列{xn}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．
解答：解：（1）证：设等差数列{xn}的公差为d，
∵yn+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd，
∴yn+1-yn为定值，即数列{yn}是等差数列；
（2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有
=λ
（λ≠-1），
于是，
=
+
=
+λ
=
+λ（
-
），
∴（1+λ）
=
+λ
∴
=
+
，
令a1=
，a2=
，则有a1+a2=1；
（3）假设存在点P（x，y），满足要求
=a1
+a2
+…+an
，
则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，
又当i+j=n+1时，恒有ai=aj，
则又有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，
∴2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+a3（x3+xn-2）+…+an（xn+x1），
又∵数列{xn}为等差数列；
于是x1+xn=x2+xn-1=x3+xn-2=…=xn+x1
∴2x=（a1+a2+a3+…+an）（x1+xn）=x1+xn
故x=
，同理y=
，
且点P（
，
）在直线上（是A1、An的中点），
即存在点P（
，
）满足要求．
∵yn+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd，
∴yn+1-yn为定值，即数列{yn}是等差数列；
（2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有
| A1P |
| PA2 |
于是，
| OP |
| OA1 |
| A1P |
| OA1 |
| PA2 |
| OA1 |
| OA2 |
| OP |
∴（1+λ）
| OP |
| OA1 |
| OA2 |
∴
| OP |
| 1 |
| 1+λ |
| OA1 |
| λ |
| 1+λ |
| OA2 |
令a1=
| 1 |
| 1+λ |
| λ |
| 1+λ |
（3）假设存在点P（x，y），满足要求
| OP |
| OA1 |
| OA2 |
| OAn |
则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，
又当i+j=n+1时，恒有ai=aj，
则又有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，
∴2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+a3（x3+xn-2）+…+an（xn+x1），
又∵数列{xn}为等差数列；
于是x1+xn=x2+xn-1=x3+xn-2=…=xn+x1
∴2x=（a1+a2+a3+…+an）（x1+xn）=x1+xn
故x=
| x1 +xn |
| 2 |
| y1+ yn |
| 2 |
且点P（
| x1 +xn |
| 2 |
| y1+ yn |
| 2 |
即存在点P（
| x1 +xn |
| 2 |
| y1+ yn |
| 2 |
点评：本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．
练习册系列答案
相关题目
，求a1+a2的值；
，我们称
是向量
，
，…，
的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．当
，求a1+a2的值；
，我们称
是向量
，
，…，
的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．当
是向量
，
，…，
的线性组合时，请参考以下线索：
，求证：a1+a2=1；
成立？请说明你的理由．