题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点
,且关于
的方程
恰有三个实数根
,
,
,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求导后按照、
、
分类讨论,求出
、
的解集即可得解;
(2)构造新函数,求导后可得
即可得
;同理可得
,即可得证.
(1)由题意得,
令即
,
,
①当时,
,
,函数
在
上单调递增;
②当时,
,
的两根为
,
,
(i)当即
时,
,
所以当时,
;当
时,
;
所以在
上单调递减,
单调递增;
(ii)当即
时,
,
所以当时,
;
当时,
;
则在
上单调递减,在
,
单调递增.
综上,当时,函数
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减,
单调递增;当
时,
在
上单调递减,
,
单调递增;
(2)证明:由题意得,
,
,
令,
则
,
由(1)知,
则
又,可知对于
均有
,
所以,所以
,
由可得
,
结合函数在
上单调递增,可得
即
,
令,
同理可得,
由可得当
时,
,
所以,所以
,
由可得
,
结合函数在
上单调递增,可得
即
,
所以即
,得证.
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