题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若存在两个极值点
，且关于
的方程
恰有三个实数根
，
，
，求证：
.
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求导后按照
、
、
分类讨论，求出
、
的解集即可得解；
（2）构造新函数
，求导后可得
即可得
；同理可得
，即可得证.
（1）由题意得
，
令
即
，
，
①当时，
，
，函数
在
上单调递增；
②当
时，
，
的两根为
，
，
（i）当
即时，
，
所以当
时，；当
时，；
所以在
上单调递减，
单调递增；
（ii）当
即时，
，
所以当
时，；
当
时，；
则在
上单调递减，在
，单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，单调递增；当时，在上单调递减，，单调递增；
（2）证明：由题意得，
，
，
令，
则
，
由（1）知
，
则
又
，可知对于
均有，
所以
，所以
，
由
可得
，
结合函数在
上单调递增，可得
即，
令
，
同理可得
，
由
可得当
时，
，
所以
，所以
，
由
可得
，
结合函数在
上单调递增，可得
即，
所以
即
，得证.
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