题目内容

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK（x）=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K.
取函数f（x）=a-|x|（a＞1）．当K=
1
a
时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是（　　）
A、（-∞，0）
B、（-a，+∞）
C、（-∞，-1）
D、（1，+∞）
分析：先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可．
解答：解：因为a-|x|=
1
a
?x=-1，x=1，
所以：fK（x）=
a-|x     x≥1，x≤-1
1
a
     -1＜x＜1
=
ax    x≤ -1
a-x      x≥1
1
a
    -1＜x＜1
，
因为a＞1，
所以当x≤-1时，函数递增，
当-1＜x＜1时，为常数函数，
当x≥1时，为减函数．
故选 D．
点评：本题是在新定义下对函数单调性以及单调区间的综合考查．在作带有新定义的题目时，一定要先理解定义，再用定义作题．
练习册系列答案
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设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 fk(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
，取函数f（x）=2-x-e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）
A、K的最大值为2
B、K的最小值为2
C、K的最大值为1
D、K的最小值为1
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)＞K
，取函数f(x)=(
1
2
)|x|，当K=
1
2
时，函数fK（x）的值域是
 
．
设函数y=f（x）在（a，b）上的导数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．若函数f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2为区间（-1，3）上的“凸函数”，则m=
2
2
．
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805
805
．
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函数f（x）=2+x+e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）

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