题目内容
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）上满足f（-x）=f（4+x），f（4-x）=f（10+x），且在闭区间[0，7]上，f（x）=0仅有两个根x=1和x=3，则方程f（x）=0在闭区间[-2011，2011]上根的个数有
805
805
．分析：根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有404个解，在[-2011.0]上有401个解，综合可得答案．
解答：解：由
⇒
⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有404个解，在[-2011，0]上有401个解，
所以函数y=f（x）在[-2011，2011]上有805个解．
故答案为：805．
|
|
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有404个解，在[-2011，0]上有401个解，
所以函数y=f（x）在[-2011，2011]上有805个解．
故答案为：805．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 fk(x)=
，取函数f（x）=2-x-e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（ ）
|
| A、K的最大值为2 |
| B、K的最小值为2 |
| C、K的最大值为1 |
| D、K的最小值为1 |