Question

【题目】为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为100m的扇形土地OAB上建造市民广场．规划设计如图：矩形EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）区域为运动休闲区，△OAB区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知P为圆弧AB中点，OP交AB于M，cos∠POB=，记矩形EFGH区域的面积为Sm2．

（1）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；

（2）求矩形EFGH区域的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 函数关系式是S=1000sinθ（20cosθ﹣7），（0＜θ＜∠POB）;(2) 面积S的最大值5400m3．

【解析】

(1) 矩形EFGH中，EF=200sinθ，FG=100cosθ﹣35，故S=EFFG=1000sinθ（20cosθ﹣7）;(2)对面积的函数表达式求导得到函数的单调性，进而得到函数的最值.

（1）由题意可知：OF=OB=100，OM=OBcos∠POB=100×=35，

故矩形EFGH中，EF=2OFsin∠POF=200sinθ，

FG=OFcos∠POF﹣OM=100cosθ﹣35，

故S=EFFG=200sinθ（100cosθ﹣35）=1000sinθ（20cosθ﹣7），

即所求的函数关系式是S=1000sinθ（20cosθ﹣7），（0＜θ＜∠POB）；

（2）f′（θ）=1000cosθ（20cosθ﹣7）+1000sinθ（﹣20sinθ）=1000（40cos2θ﹣7cosθ﹣20），

由f′（θ）=0，即40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=或cosθ=﹣，

因为0＜θ＜∠POB，所以cosθ＞cos∠POB，所以cosθ=，

设cosθ0=，且0＜θ0＜∠POB，

则当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数，

当θ∈（θ0，+∞）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，

所以当θ=θ0时，即cosθ=，f（θ）取得最大值，此时S有最大值为5400m3，

即矩形EFGH区域的面积S的最大值5400m3．