题目内容
17.已知函数f(x)=2asin2x+2sinxcosx-a的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称.(1)求常数a;
(2)当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,求函数f(x)的值域.
分析 (1)由题意可得f(0)=f($\frac{5π}{6}$),即0-a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a•$\frac{1}{2}$,由此求得a的值.
(2)由(1)可得f(x)=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{3}$),根据x∈[0,$\frac{π}{2}$],利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)的值域.
解答 解:(1)函数f(x)=2asin2x+2sinxcosx-a=sin2x-acos2x 的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称.
故f(0)=f($\frac{5π}{6}$),即0-a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a•$\frac{1}{2}$,求得a=$\sqrt{3}$.
(2)由(1)可得f(x)=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{3}$),
当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],
故当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时,函数f(x)取得最小值为-$\sqrt{3}$,当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时,函数f(x)取得最大值为2,
故函数的值域为[-$\sqrt{3}$,2].
点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性,正弦函数的定义域和值域,属于基础题.
练习册系列答案
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A. | A≠0 | B. | B≠0 | C. | A•B≠0 | D. | A2+B2≠0 |