Question

7．已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在定义域上为减函数．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1-a）+f（1-2a）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求f（0）的值；
（2）若f（1-a）+f（1-2a）＞0，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0；
（2）若f（1-a）+f（1-2a）＞0，
则f（1-a）＞-f（1-2a）=f（2a-1），
∵f（x）在在定义域上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{1-a＜2a-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜a＜1}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
则$\frac{2}{3}$＜a＜1，
即实数a的取值范围是$\frac{2}{3}$＜a＜1．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．