题目内容

下列命题中：
（1）方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
（2）函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是m∈（0，4）；
（3）若函数 $数学公式$ 在区间（-∞，1]上是减函数，则实数a∈[-3，-2]；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线 $数学公式$ 对称．
（5）若对于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，则 $数学公式$ ；
其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．

解：（1）用根的分布来解，
令f（x）=x²+（a-3）x+a，一个比0大，一个比0小，
只要f（0）=a＜0即可．故（1）正确；
（2）∵函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，
∴mx²+mx+1＞0的定义域为R，
∴m=0，或 $\text{[math]}$ ，
解得0≤m＜4，故（2）不正确；
（3）∵函数 $\text{[math]}$ 在区间（-∞，1]上是减函数，
∴ $\text{[math]}$ ，解得-3≤a≤-2，故（3）正确；
（4）∵函数f（3x+1）是偶函数，
∴函数f（3x+1）的图象关于y轴对称，
∴f（3x）的图象关于x= $\text{[math]}$ 对称，
∴f（x）的图象关于x=1对称，故（4）不正确；
（5）∵对于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，
∴x²+2＜ax对于任意x∈（1，3）恒成立，
∴x+ $\text{[math]}$ ＜a对于任意x∈（1，3）恒成立，
∵当x∈（1，3）时，x+ $\text{[math]}$ ∈[2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴a $\text{[math]}$ ，故（5）成立．
故答案为：（1），（3），（5）．
分析：（1）用根的分布来解，得到f（0）=a＜0；
（2）由函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，知mx²+mx+1＞0的定义域为R，由此能求出实数m的取值范围；
（3）由定义域得a＞-3，由单调性得a＜-2，由此能求出实数a的范围；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
（5）由题意得x²+2＜ax对于任意x∈（1，3）恒成立，故x+ $\text{[math]}$ ＜a对于任意x∈（1，3）恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．