题目内容
△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量
=(2cosB，sin2B-1)，
=（2sin2（
+
），-1），
⊥
．
（I）求角B的大小；
（II）若b=
，求△ABC的周长的最大值．
| m |
| n |
| π |
| 4 |
| B |
| 2 |
| m |
| n |
（I）求角B的大小；
（II）若b=
| 3 |
分析：（I） 由
⊥
可得
•
=0，解得 cosB=-
，再由B∈（0，π）求得B的值．
（II）由正弦定理可得 a=2sinA，C=2sinC=2sin(
-A)，求得△ABC的周长为 2sinA+2sin(
-A)+
，化简为 2sin(A+
)+
，由此求得△ABC的周长有最大值
| m |
| n |
| m |
| n |
| 1 |
| 2 |
（II）由正弦定理可得 a=2sinA，C=2sinC=2sin(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（I）∵
⊥
，∴
•
=0，∴4cosB•sin2(
+
)+1-sin2B=0，…（2分）
∴2cosB[1-cos(
+B)]+1-sin2B=0．
即2cosB+sin2B+1-sin2B=0，∴cosB=-
，又B∈（0，π），∴B=
． …（6分）
（II）由正弦定理可得：
=
=
，又由（I）可知
=2，A+C=
．
∴a=2sinA，C=2sinC=2sin(
-A)．…（8分）
所以△ABC的周长为 2sinA+2sin(
-A)+
=2sinA+
cosA-sinA+
=sinA+
cosA+
=2sin(A+
)+
．…（10分）
又A∈(0，
)，∴A=
时，△ABC的周长有最大值为2+
．…（12分）
| m |
| n |
| m |
| n |
| π |
| 4 |
| B |
| 2 |
∴2cosB[1-cos(
| π |
| 2 |
即2cosB+sin2B+1-sin2B=0，∴cosB=-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（II）由正弦定理可得：
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| b |
| sinB |
| π |
| 3 |
∴a=2sinA，C=2sinC=2sin(
| π |
| 3 |
所以△ABC的周长为 2sinA+2sin(
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
又A∈(0，
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
点评：本题主要考查余弦定理的应用，两个向量垂直的性质，两角和的正弦公式，属于中档题．
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