Question

【题目】已知函数f（x）= + ．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）设函数g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= + = + =|x﹣3|+|x+4|，

∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．

∴① ，或② ，或③ ．

得不等式①：x≤﹣5；

解②可得x无解；

解③求得：x≥4．

所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}

（2）解：f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，

∵f（x）=|x﹣3|+|x+4|= ．

由于函数g（x）=k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，

作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，其中，KPB=2，A（﹣4，7），

∴KPA=﹣1．

由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，

∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．

【解析】（1）函数f（x）=|x﹣3|+|x+4|，不等式 f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．可得① ，或② ，或③ ．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，由KPB=2，A（﹣4，7），可得 KPA=﹣1，数形结合求得实数k的取值范围．