Question

【题目】已知曲线C1： ，（t为参数）曲线C2： +y2=4．
（1）在同一平面直角坐标系中，将曲线C2上的点按坐标变换y′=yx，后得到曲线C′．求曲线C′的普通方程，并写出它的参数方程；
（2）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C′上的动点，求PQ中点M到直线C3： （t为参数）的距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得到 ①

将①代入曲线C2： +y2=4．得 +（y′）2=4，即（x′）2+（y′）2=4．

因此椭圆 +y2=4经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=4．

它的参数方程为

（2）解：当t=π/2时，P（﹣4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（﹣2+cosθ，2+sinθ）

曲线C3：为直线x﹣2y+8=0，

M到C3的距离d= |（﹣2+cosθ）﹣2（2+sinθ）+8|= |cosθ﹣2sinθ+2|= | cos（θ+α）+2|

从而tanα=2时d的最小值为 |﹣ +2|=

【解析】（1）由 得到 ，代入曲线C2： +y2=4．化简可得椭圆 +y2=4经伸缩变换后得到的曲线方程．利用平方关系可得它的参数方程．（2）当t= 时，P（﹣4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（﹣2+cosθ，2+sinθ）．曲线C3：为直线x﹣2y+8=0，利用点到直线的距离公式可得M到C3的距离d= | cos（θ+α）+2|，利用三角函数的单调性即可得出．