Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$，设S_n是数列{b_n}的前n项和，b_n=lga_n，则S₉₉=2．

Answer 1

分析 a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$，变形为$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1，利用等差数列的通项公式可得a_n，可得b_n=lga_n═lg（n+1）-lgn，利用“累加求和”即可得出．

解答 解：∵a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n}-1=\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n-1}-1+1}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，
化为$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=1+（n-1）$，
解得a_n=$\frac{n+1}{n}$．
∴b_n=lga_n═lg（n+1）-lgn，
∴S_n=[lg（n+1）-lgn]+[lgn-lg（n-1）]+…+（lg3-lg2）+（lg2-lg1）
=lg（n+1）．
∴S₉₉=lg100=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了递推式、等差数列的通项公式、“累加求和”、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．