Question

（本题12分）如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，
⑵    证：平面A₁CB⊥平面BDE；
⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

Answer 1

由正四棱柱得BDAC，BDAA_1，推出BD面A₁ AC ，A₁CＢＤ　，又A₁B₁面BB₁ C_１C，BE得到BEA₁B_1，又BEB₁C， BE面A₁B₁C，平面A₁CB⊥平面BDE；；
⑵ 

试题分析：
正四棱柱得BDAC，BDAA_1，又_，BD面A₁ AC ,又A₁ C面A₁ AC，
A₁CＢＤ　，又A₁B₁面BB₁ C_１C，BE面BB₁ C_１C，BEA₁B_1，又BEB₁C，
 BE面A₁B₁C，A₁ C面A₁B₁C， BEA₁ C，又_，A₁ C面BDE，又A₁ C面A₁BC
平面A₁CB⊥平面BDE；
⑵以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，，，
∴， 
∴，设A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成角，∴ 
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了证明过程。