题目内容
【题目】如图，菱形
的边长为12，
，
与
交于
点，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据题意，由菱形的性质可知
和
，由直角三角形斜边上的中线的性质得出
，利用勾股定理的逆定理得出
，根据线面垂直的判定定理即可证出
平面
，最后由线面垂直的性质得出
；
（2）根据菱形对角线的性质得出
，
，线面垂直的判定定理得出
平面
，建立空间直角坐标系，分别求出平面
和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的公式，即可求出二面角
的余弦值.
证明：（1）∵四边形
是菱形，且边长为12，
，
∴
，，
在
中，
，
，
∴，又
是
中点，
∴，
又
，
则
，∴，
又
平面，
，
∴平面，
又∵
平面，
∴．
解：（2）由题意，，，
又由（1）知
，
且
平面，
，则平面，
故以
为坐标原点，分别以
，
，
方向为
、
、
轴正向建立空间直角坐标系，
由于
，则
，
易知
，
，
，
故
，
，
设平面的法向量
，则
，
即
令
，
则
，
，
，
由于已证平面，故平面的法向量为
，
所以
，
由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为.
【题目】为评估
设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算，样本的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为
，并根据以下不等式进行评判（
表示相应事件的频率）：
①
；②
；③
，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于
的零件或直径大于等于
的零件认定为是“次品”，将直径小于等于
的零件或直径大于等于
的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数
的数学期望.
