Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足S_n=2n²-n，且a₁，a₂依次是等比数列{b_n}的前两项．
（1）求数列{a_n} 及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由关系式an=

s1              n=1 sn-sn-1    n≥2

求出a_n，注意验证n=1时是否符合，再求出a₁，a₂的值，作商求出公比，再代入等比数列的通项公式求出b_n；
（2）先假设存在，再由（1）求出a_n-log_ab_n进行整理，列出常数列的等价条件，求出a的值并与范围进行比较，再下结论即可．

解答：解：（1）由题意知，S_n=2n²-n，
当n=1时，a₁=s₁=1，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
又n=1时，4n-3=1，也符合上式，
∴a_n=4n-3，
∴a₂=5，则q=5，bn=5n-1，
（2）假设存在常数a＞0且a≠1满足条件，
由（1）得a_n-log_ab_n=4n-3-（n-1）log_a5=（4-log_a5）n-3+log_a5，
∵数列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常数列，
∴4-log_a5=0，
解得a=

4	5

，
故存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常数列．

点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式和前n项和公式，以及an=

s1              n=1 sn-sn-1    n≥2

的应用，还有存在性问题，一般是先假设存在，再由条件进行求解，最后于条件进行对比即可．