Question

11．已知α，β为锐角，且cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosβ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，为了求α+β的值，要先求sin（α+β）或cos（α+β），你认为选cos（α+β）更好．最后求得α+β=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sinβ的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+β）的值，可得（α+β）的值．

解答 解：∵已知α，β为锐角，且cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosβ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，为了求α+β的值，应先求cos（α+β）．
这是因为α+β∈（0，π），余弦函数在（0，π）上是单调函数，而正弦函数在（0，π）上不是单调函数．
由α，β为锐角，且cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosβ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{\sqrt{10}}•\frac{1}{\sqrt{5}}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+β=$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．