题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数,那么:
①求k的取值范围;
②是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
分析:(1)欲求求f(x)的解析式,先利用f(x)的解析式求得f(x+1)的解析式,结合f(x+1)为偶函数列出等式,再根据函数f(x)的图象与直线y=x相切,将直线的方程代入二次函数的解析式,利用根的唯一性的条件列出另一个方程.从而求出a,b.问题解决.
(2)①先求函数g(x)的导函数,利用:“函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数”得其导数恒小于等于0,最后结合二次函数的根的判别式即可求k的取值范围;
②对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在区间[m,n](m<n),再利用二次函数的单调性,求出m,n的值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),
即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有两相等实数根,
∴△=(2a+1)2-4a×0=0
a=-
1
2
,f(x)=-
1
2
x2+x
(4分)

(2)①g(x)=-
1
2
x3+x2-kx
g′(x)=-
3
2
x2+2x-k

∵g(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数
∴g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.
△=4-4(-
3
2
)(-k)≤0
,得k≥
2
3

故k的取值范围为[
2
3
,+∞)
(7分)
②∵f(x)=-
1
2
(x-1)2+
1
2
1
2

[km,kn]⊆(-∞,
1
2
]

kn≤
1
2
又k≥
2
3

n≤
1
2k
3
4

∴[m,n]⊆(-∞,1],
∴f(x)在[m,n]上是单调递增函数(9分)
f(m)=km
f(n)=kn
-
1
2
m2+m=km
-
1
2
n2+n=kn
m=0,或m=2-2k
n=0,或n=2-2k
(11分)
∵m<n故当
2
3
≤k<1
时,[m,n]=[0,2-2k];
当k>1时,[m,n]=[2-2k,0];当k=1时,[m,n]不存在. (13分)
点评:本小题主要考查函数的奇偶性、直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识,考查运算求解能力.属于中档题.
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