题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数,那么:
①求k的取值范围;
②是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
分析:(1)欲求求f(x)的解析式,先利用f(x)的解析式求得f(x+1)的解析式,结合f(x+1)为偶函数列出等式,再根据函数f(x)的图象与直线y=x相切,将直线的方程代入二次函数的解析式,利用根的唯一性的条件列出另一个方程.从而求出a,b.问题解决.
(2)①先求函数g(x)的导函数,利用:“函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数”得其导数恒小于等于0,最后结合二次函数的根的判别式即可求k的取值范围;
②对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在区间[m,n](m<n),再利用二次函数的单调性,求出m,n的值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
(2)①先求函数g(x)的导函数,利用:“函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数”得其导数恒小于等于0,最后结合二次函数的根的判别式即可求k的取值范围;
②对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在区间[m,n](m<n),再利用二次函数的单调性,求出m,n的值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),
即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有两相等实数根,
∴△=(2a+1)2-4a×0=0
∴a=-
,f(x)=-
x2+x(4分)
(2)①g(x)=-
x3+x2-kx,g′(x)=-
x2+2x-k
∵g(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数
∴g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.
∴△=4-4(-
)(-k)≤0,得k≥
故k的取值范围为[
,+∞)(7分)
②∵f(x)=-
(x-1)2+
≤
,
∴[km,kn]⊆(-∞,
],
∴kn≤
,又k≥
,
∴n≤
≤
,
∴[m,n]⊆(-∞,1],
∴f(x)在[m,n]上是单调递增函数(9分)
∴
即
即
(11分)
∵m<n故当
≤k<1时,[m,n]=[0,2-2k];
当k>1时,[m,n]=[2-2k,0];当k=1时,[m,n]不存在. (13分)
即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有两相等实数根,
∴△=(2a+1)2-4a×0=0
∴a=-
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)①g(x)=-
1 |
2 |
3 |
2 |
∵g(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数
∴g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.
∴△=4-4(-
3 |
2 |
2 |
3 |
故k的取值范围为[
2 |
3 |
②∵f(x)=-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴[km,kn]⊆(-∞,
1 |
2 |
∴kn≤
1 |
2 |
2 |
3 |
∴n≤
1 |
2k |
3 |
4 |
∴[m,n]⊆(-∞,1],
∴f(x)在[m,n]上是单调递增函数(9分)
∴
|
|
|
∵m<n故当
2 |
3 |
当k>1时,[m,n]=[2-2k,0];当k=1时,[m,n]不存在. (13分)
点评:本小题主要考查函数的奇偶性、直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识,考查运算求解能力.属于中档题.
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