Question

（2013•临沂二模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为

2

5

．

Answer 1

分析：由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F(

p

2

，0)的距离为4，∴

p

2

+a=4；
又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），∴渐近线的方程应是y=

b

a

x，而抛物线的准线方程为x=-

p

2

，因此-1=

b

a

×(-2)，-2=-

p

2

，
联立得

p 2 +a=4 -1= -2b a -2=- p 2

，解得

p=4 a=2 b=1

，
∴2c=2

22+12

=2

5

．
故双曲线的焦距为2

5

．
故答案为2

5

．

点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．