题目内容

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

 

【答案】

(1) . (2) .

【解析】

试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴.   3分

又椭圆的焦点在轴上, ∴椭圆的标准方程为.      5分

(2)设线段的中点为 ,点的坐标是，

由，得，                      9分

由点在椭圆上,得,             11分

∴线段中点的轨迹方程是.     12分

考点：本题考查了椭圆的标准方程及轨迹方程的求法

点评：若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

 

练习册系列答案
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选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点A(1，
1
2
)，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ为参数），以ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
6
)=0，则圆C截直线l所得的弦长为
4
2
4
2
．
已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），动点M（x，y）满足条件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，则z=
OM
•
OC
的最大值为（　　）
A、-1B、0C、3D、4
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．

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