题目内容
【题目】已知数列中,
,点
(
)在直线y = x上,
(Ⅰ)计算a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)令bn=an+1﹣an﹣1,求证:数列{bn}是等比数列;
(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)存在λ=2.
【解析】试题分析:(1)根据点在直线
上,可得
,代入计算可得
的值;(2)利用
,及
,即可证明数列
是等比数列;(3)求得数列的前三项,求得
,再验证即可求得结论.
试题解析:(Ⅰ)由题意,∵点(n,2an+1﹣an)在直线y=x上,
∴2an+1﹣an=n
∵,∴
,
同理,,
;
(Ⅱ)证明:∵bn=an+1﹣an﹣1,2an+1﹣an=n
∴bn+1=an+2﹣an+1﹣1=﹣an+1﹣1=
(an+1﹣an﹣1)=
bn,
∵b1=a2﹣a1﹣1=﹣
∴数列{bn}是以﹣为首项,
为公比的等比数列;
(Ⅲ)解:存在λ=2,使数列是等差数列.
由(Ⅱ)知,,
,
∵an+1=n﹣1﹣bn=n﹣1+,∴an=n﹣2+
,
∴Sn==
由题意,要使数列是等差数列,则
∴2×=
﹣
λ+
,∴λ=2
当λ=2时, =
,数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时,数列是等差数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目