题目内容

(本题满分12分) 直角三角形的直角顶点为动点,为两个定点,作,动点满足,当点运动时,设点的轨迹为曲线,曲线轴正半轴的交点为.(Ⅰ) 求曲线的方程;(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线,与曲线交于两点,使,且的夹角为?若存在,求出所有满足条件的直线方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)
(Ⅰ)由题意知,点在以为直径的圆上,且除去两点.
即点坐标满足方程:
设点,则,  ①
,即.代入①式
 ,即曲线的方程为.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点为坐标原点,假设直线存在,由题知为正三角形,
,线段中点为,则,且,(6分)
,作差得
直线,又直线坐标
坐标为,又
.  ②   …(8分)
到直线的距离,③
又由,由②式得,

. ④…(10分)
,由②③④得:,此时直线与椭圆交点有,与曲线矛盾,舍去.不存在符合题中要求的直线.……………(12分)
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