题目内容
(本题满分12分) 直角三角形的直角顶点为动点,,为两个定点,作于,动点满足,当点运动时,设点的轨迹为曲线,曲线与轴正半轴的交点为.(Ⅰ) 求曲线的方程;(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线,与曲线交于,两点,使,且与的夹角为?若存在,求出所有满足条件的直线方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)
(Ⅰ)由题意知,点在以为直径的圆上,且除去两点.
即点坐标满足方程:.
设点,,则, ①
由知,即.代入①式
得 ,即,曲线的方程为.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点,为坐标原点,假设直线存在,由题知为正三角形,
设,,线段中点为,则,且,(6分)
,作差得,,
直线,又直线,点坐标.
坐标为,,又,
. ② …(8分)
点到直线的距离,③
又由得,由②式得,
,,
. ④…(10分)
,由②③④得:,此时直线与椭圆交点有或,与曲线中矛盾,舍去.不存在符合题中要求的直线.……………(12分)
即点坐标满足方程:.
设点,,则, ①
由知,即.代入①式
得 ,即,曲线的方程为.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点,为坐标原点,假设直线存在,由题知为正三角形,
设,,线段中点为,则,且,(6分)
,作差得,,
直线,又直线,点坐标.
坐标为,,又,
. ② …(8分)
点到直线的距离,③
又由得,由②式得,
,,
. ④…(10分)
,由②③④得:,此时直线与椭圆交点有或,与曲线中矛盾,舍去.不存在符合题中要求的直线.……………(12分)
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