Question

【题目】若数列的前项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是；（4）若是等比数列，则的充要条件是．其中，正确命题的个数是（　　）

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得（1）、（2）、（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论．

解：数列{an}的前n项和为Sn，故 Sn＝a1+a2+a3+…+an，

若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如当an＜0 时，数列{Sn}是递减数列，故（1）不正确．

由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，

满足{Sn}是递增数列，但不满足数列{an}的各项均为正数，故（2）不正确．

若{an}是等差数列（公差d≠0），则由S1S2…Sk＝0不能推出a1a2…ak＝0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，

满足S4＝0，但 a1a2a3a4≠0，故（3）不正确．

若{an}是等比数列，则由S1S2…Sk＝0（k≥2，k∈N）可得数列的{an}公比为﹣1，故有an+an+1＝0．

由an+an+1＝0可得数列的{an}公比为﹣1，可得S1S2…Sk＝0（k≥2，k∈N），故（4）正确．

故选：B．