Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，

所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，

又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD平面AED，

所以BD⊥平面AED；

（2）解法一：由（1）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，

不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（ ，﹣ ，0），F（0，0，1），因此 =（ ，﹣ ，0）， =（0，﹣1，1）

设平面BDF的一个法向量为 =（x，y，z），则 =0， =0

所以x= y= z，取z=1，则 =（ ，1，1），

由于 =（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，

则cos＜ ， ＞= = = ，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，

因此CG= CB，又CB=CF，

所以GF= = CG，

故cos∠FGC= ，

所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

【解析】（1）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（2）解法一：由（1）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，结合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF两两垂直，因此可以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，设CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；
解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定和向量语言表述线面的垂直、平行关系是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若．