Question

3．已知a，b，c均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：
（1）任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线；
（2）a∥β，β内必存在与a相交的直线；
（3）α∥β，a?α，b?β，必存在与a，b都垂直的直线；
（4）α⊥β，α∩β=c，a?α，b?β，若a不垂直c，则a不垂直b．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用空间线面关系性质定理和判定定理对选项分别分析解答．

解答 解：对于（1），任意给定一条直线与一个平面α，如果线面垂直，显然命题成立；如果线面不垂直，则直线在平面内必垂直射影，在平面一定能找到一条直线与射影垂直，根据射影定理，命题也成立；故任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线是正确的；
对于（2），a∥β，则直线与平面内直线一定没有交点，所以β内不存在与a相交的直线；故（2）错误；
对于（3），α∥β，a?α，b?β，与两个平面垂直的直线，与直线a，b垂直，故必存在与a，b都垂直的直线；所以（3）正确；
对于（4），α⊥β，α∩β=c，a?α，b?β，若a不垂直c，则a不垂直于平面β，但是直线a可能与直线b垂直；故（4）错误；
故选：B．

点评 本题考查了空间线面关系性质定理和判定定理的运用，注意考虑特殊情况．