Question

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

（a≠0，x≠0）．
（1）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由已知先求出F（x），进而求出F（-x），根据已知F（x）为奇函数可求a
（2）根据单调性的定义，先 任取x₁＞x₂＞0，然后利用作差法比较f（x₁）与fx₂）的大小即可判断函数的单调性

解答：解  （1）∵F(x)=f(x)-a=

1

a

-

1

x

-a…（3分）
∴F(-x)=

1

a

+

1

x

-a
又因为F（-x）为奇函数，
所以 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0…（5分）
解得 a=1或a=-1…（7分）
（2）证明  任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=（

1

x2

-

1

x1

）=

x1-x2

x1x2

   …（10分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数              …（15分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的定义的简单应用，属于基础试题