Question

（本小题12分）
已知函数f(x)=x－（2a+1）x+3a（a+2）x+，其中a为实数。
（1）当a=－1时，求函数y=f(x)在[0,6]上的最大值与最小值；
（2）当函数y=f(x)的图像在（0,6）上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）   -1
（2）实数a的取值范围为－2<a≤0，或a=1，或2≤a<4

解： （1）当a=－1时，有f(x)=x+x―3x+, f(x)= x+2x－3=0得x=1，x=－3，显然在区间[0，6]上只有根x=1；                               --------3分

x	0	(0，1)	1	（1,6）	6
f（x）		－	0	＋
f(x)		↘	－1	↗	90

由上表可知：y=f(x)在[0,6]上的最大值为，最小值为－1；     --------6分
（2）f(x)=x－2（2a+1）x+3a（a+2）=[x－（a+2）](x―3a)=0得x=a+2，x=3a
i、当a=1，即x=x=3时，显然满足条件；                ---------7分
ii、当得x≠x，
若x>x,a+2>3aa<1，进而x<x<3, f(x)在（0,6）上有唯一根，可知
解得－2<a≤0
若x<xa+2<3aa>1,进而x>x>3, f(x)在（0,6）有唯一根，知
解得2≤a<4                              
所以实数a的取值范围为－2<a≤0，或a=1，或2≤a<4。  ---------12分